Constellation : StarLight's Imagination Factory

수업 시간 사이에 심심해서 끄적끄적 또 만들어 봤습니다.


역시 그냥 퀄리티는 영 'ㅅ' 일단 기존것과 차이점은 구슬이 분리된 점(사진에선 잘 안보이지만)입니다. 기본형 구조는 블린츠프로그베이스에서 시작


상하단 뿔이 좌우 대칭으로 되어있어 상하로 전환하는데 한번 대칭을 깨뜨려야 되서 접기 힘들어지는 문제도 있고, 남는 각도 처리해야 되고; 힘드네요.


이렇게 바꿔보던지, (탄창이 양쪽에 갈려서 나와 조금 이상해지긴 하지만, 묶어주면 고정시키는데 도움이 될듯.) 아니면 아주 없애서


로 밋밋하게 가는게 나을듯 하네요. 아니면 기본형부터 다시 짜볼까나 'ㅅ' 프로그램도 있겠다,  TreeMaker 란 기본형 설계 해주는 프로그램이 있는데 써보니 좋더라고요 ~_~

선분을 정확히 나누기, 2등분, 4등분 같이 반으로 접어 쉽게 등분이 가능한 경우가 아닐때는 자가 없다면 상당히 쉽지 않은 문제입니다. 하지만, 근사적으론 매우 쉽게 선분을 n등분할 수 있습니다.  일단 짝수등분의 경우는 아래와 같이
홀수등분 후, 다시 짝수 등분 하면 모든 짝수등분을 얻을 수 있기에 고려하지 않겠습니다. 그렇다면, 어떻게 근사적으로 선분을 나눌 수 있을까요?



 하지만... 정답입니다! 그냥 때려 맞추면 됩니다. (음?) 그럼 어디 5등분을 예로 들어보죠.

예제 : 5등분

  자 여기 어림짐작해서 접어놓은 5등분점이 있습니다.


헛, 실수를 좀 해서 많이 벗어난것처럼 보이네요. 뭐 상관 없습니다. 이제부터 저기를 "5등분점"이라고 해버리면 되지요. 하하하.


  흠흠.. 그럼 이제부터 마술을 보여 드리겠습니다!. 일단 오른쪽을 반으로 접고,

한번 더 이 선을 기준으로 오른쪽을 반으로 접고

이 선을 기준으로 왼쪽을 반으로 접고

또 그 선을 기준으로 왼쪽을 반으로 접으면

음 뭔가 제법 그럴싸한 위치에 새로운 점이 생겼네요. 그래도 아직 정확하진 않습니다. 그럼 이 점을 기준으로

다시 한번 위와 같이 접으면,

좀 더 정확한 선이 생깁니다. 그리고 이 과정을 적당한 수준까지 반복하면, 거의 정확한 5등분 선을 얻을 수 있지요. 그렇다면 왜 이것이 성립하는 걸까요?

증명

음 증명은 제법 간단합니다. 일단, 처음에 5등분점을 잡았을때의 오차를 (공대생이 제일 싫어하는) ɛ 이라 해보죠. 그럼 실제 5등분 점의 위치는

이 됩니다. 그리고 오른쪽을 두번 접은 후 나머지 길이는,

즉,

이 됩니다. 반대쪽을 또 두번 접으면, 왼쪽의 나머지 길이는
이 되고, 또 이 알고리즘을 반복하면,

한번 더 하면

이 됩니다. 즉, 한번 접을때마다 등분점의 좌표는 변하지 않고(실제 5등분된 종이로 위 알고리즘을 적용시켜 보면 계속 접혔던 부분만 접히게 됨.), 오차가 반으로 줄어들기 때문에, 고등학교때 배웠던 대로,

가 되어 오차가 0에 수렴하게 되지요. 단, 무한번 접을 수 있느냐 없느냐는 별개의 얘기지만요. 어쨌든, 사람이 접는 것에 의한 오차도 있기 때문에 처음에 얼마나 잘 접었느냐에 따라 다르긴 하지만 1000분의 1정도 까지 오차를 줄일 정도만 접으면 보통 거의 정확히 종이를 5등분 할 수 있습니다.


위 도표에서 보시다 시피 대략 10번 정도 접으면 오차를 거의 완벽히 줄일 수 있습니다. 그럼 증명은 여기까지로 줄이고 일반적인 홀수 n등분 알고리즘을 소개하고 이만 마치도록 하겠습니다.

후지모토 근사법 - 알고리즘

1. 예상되는 n등분 지점을 접고 양쪽중 짧은 쪽에 1, 긴쪽에 n-1을 파라미터로 준다.
2. 둘 중 짝수인 쪽을 반으로 접는다.
3. 이 선을 기준으로, 다시 파라미터를 재분배 한다.
   
• 짝수 였던 쪽 : 새 파라미터 = 기존 파라미터 / 2
• 홀수 였던 쪽 : 새 파라미터 = n - 짝수였던 쪽의 새 파라미터
4. 다시 한쪽에 1을 얻을때까지 2,3을 반복한다.
5. 오차가 적정 수준까지 내려가지 않았으면 다시 2로 가고 아니면 완성.

참고문헌

• Hull, Thomas. "Dividing a Length into Equal Nths : Fujimoto Approximation".
  Project Origami - Activities for Exploring Mathematics. p.15 - 26.
  

ps. 고등학교때 극한 배우시면서 이거 어디따 써먹어! 하고 생각해보신분들이 많으실 텐데요. 생각외로 써먹을 만한 데가 많답니다 ^^

오랜만에 그냥 머리나 식힐겸 따라접기를 해보았습니다. 파판시리즈에서 유명했던 캐릭터중 하나인 초코보 입니다 ^^

접기방법이 있는 책 : Works Of Satoshi Kamiya



  쉬울줄 알고 두껍기로 유명한 장미접기 종이 15cm x 15cm 로 접었다가, 꽤나 섬세한 부분이 많아서 다 뭉개져 버렸네요. 나중에 깔끔하게 다시 접어봐야 겠습니다 ^^;

  현재 시험중입니다 ^^; 제한시간 무제한 짜리. GG


  아, 그리고 시험 전에 발표가 있었는데, 일단 발표자료 올려봅니다.

  어떻게 고쳐 볼까나.. 아, 그러고보니 종이접기 발표 준비도 해야 하는데. 이걸 발표 내용 예제로 써볼까나봐요.

  종이를 정확히 3등분 하는것은 상당히 만만치 않은 작업입니다. 자로 재서 정확히 나누는 방법도 있지만, 여기서는 종이접기만을 이용하여 종이를 3등분 하는 방법을 알아보겠습니다.

종이 3등분 하기 - 방법

  보시다시피 굳이 자를 사용하지 않고도 간단하면서 정확하게 종이를 3등분 할수 있답니다. 전혀 어림짐작으로 접은것도 아니고 복잡하게 자로 잰것도 아니고요. 그럼 왜 5의 빨간점이 정확히 3등분점이 되는지 알아볼까요?

종이 3등분 하기 - 증명

위 그림은 3과 5를 합쳐놓은 그림입니다. 종이를 접은 것이므로, 대칭성에 의해

이지요. (삼각형 ACB' 와 삼각형 ACB는 닮았다.) 간단히 조금 더 살펴보면,


임을 알 수 있습니다. 편의를 위해 $AB = 1$ 이라하면


이기 때문이지요. 그럼 이제 대칭성과 위 사실들을 이용해 아래 식이 맞는지 유도해 봅시다.

만약 D가 3등분 점이 맞다면 당연히 성립해야 하는 식이지요.
$ \angle AB'C = 90^\circ $ 이고, 종이를 접어 각을 이등분 했으므로 $ \angle B'AC = 30^\circ $ 입니다. 이를 이용해 삼각형 AB'C의 나머지 각을 구하면


가 됩니다. 그런데 종이를 접었으므로 $ B'C = BC $ 이지요. 이를 삼각함수를 써서 구해보면,

입니다. 마찬가지로 BD를 구해보면

가 됩니다. 즉 점 D' 가 3등분점이란 말이지요.

그럼 오늘은 여기까지 입니다 ^^

  종이접기 수학에서 가장 재미있고, 궁금한 주제중의 하나가 종이를 납작하게 접어내려면 어떤 조건들이 필요할까 입니다. 물론 간단하게 생각하면 매우 쉬운 문제이기도 합니다. 바로 그냥 막 접으면 되지요.  하지만, 어떤 특정한 구조를 만들고 싶고 그게 어떤 방식을 통해 접어질 수 있을까를 고민할땐 이 문제가 큰 문제가 됩니다. 간단히 말하자면 아래와 같은 문제가 발생하게 되지요.


  이 문제는 수학적으로 상당히 복잡한 문제입니다. 일반적인 크리스패턴에 대해 위 문제를 증명하기가 상당히 어렵기 때문이죠. 하지만, 어떤 한 꼭지점 근처에 대해선 비교적 쉽게 그 문제를 판단할 수 있습니다. 이 문제를 판단해보기 전에 먼저 경우를 2가지로 나눕시다. 크리스패턴도 크게 두 종류로 나눌 수 있기 때문이죠.

1. 크리스패턴에 산접기, 계곡접기가 표시되지 않았을 경우 그 패턴을 납작하게 접어낼 수 있을까?
2. 크리스패턴에 산접기, 계곡접기가 표시되어 있을 경우 그 패턴을 납작하게 접어낼 수 있을까?

  그럼 이제 두 경우에 대해서 크리스패턴을 어떤 꼭지점 근처에서 납작하게 접기가 가능할 지 알아봅시다. 단, 꼭지점이 종이 안쪽에 있는 경우만 고려합니다.

용어정의

크리스패턴 : 종이접기에서 작품을 만들고 펼친 후 의미가 있는 접은선들을 이용해 만든 그래프.
꼭지점 : 크리스패턴에서 선들이 만나는 점.

경우 1 : Kawasaki's Theorem

  이 경우에는 크리스패턴에 접기 방향이 지정되어 있지 않기 때문에 우리 마음대로 접기 방향을 결정할 수 있습니다. 하지만 접기 방향에 관계업이 어떤 선을 접으면 접은 종이의 반대편이 뒤집힌다는 것은 쉽게 확인 할 수 있습니다.



  그럼 이것을 한번 일반화 시켜 봅시다. 어떤 한 꼭지점에 n개의 접은선(Crease)이 연결되어 있습니다. 그렇다면 이 점 근처로 납작하게 접기가 가능하다면 최소 어느 조건이 필요할까요?

정리 1.1

v를 종이 안의 한 꼭지점이라 하자. v 근처로 납작하게 접기가 가능하다면 그 점에 연결된 접은선의 개수는 짝수이다.

Let v be a vertex at the inside of a paper. Then v have even degree if a vertex is local flat-foldable.

증명 :
  꼭지점 근처를 도는 간단한 닫힌 회전방향이 지정된 곡선을 생각해 봅시다. 그 곡선은 닫혀있으므로 접힌 후에도 그 곡선은 닫혀있어야 합니다. 그럼 이제 홀수개의 접은선이 연결된 꼭지점을 생각해 봅시다. 종이를 한번 접을때마다 종이가 뒤집히므로 한번 곡선이 접은선을 지날때마다 곡선의 방향이 반전됩니다.() 그런데 홀수번 접혔다면 최종적으로 모든 접은선을 다 지났을때 곡선의 방향은 어떻게 될까요? 두번 접으면 방향이 원래대로 돌아오므로 출발했을때의 방향과 반대가 됩니다. 따라서 이 곡선은 닫힌 곡선이 될 수 없습니다. 따라서 홀수개의 접은선이 연결된 꼭지점은 납작하게 접을수 없습니다. 이 명제의 대우가 정리 1.1 입니다.

  이것만으로 조건이 충분할까요? 물론 아닙니다. 꼭지점에 연결된 접은선의 개수가 짝수라는 조건은 점 근처로 납작하게 접기가 가능하다는 것의 필요조건이기 때문이죠. 그렇다면 어떤 조건의 더 필요할까요?

정리 1.2  : Kawasaki's Theorem  (가와사키의 정리)

v를 2n개의 접은선이 연결된 종이 안의 한 꼭지점이라 하자. 그리고 $\alpha _1 , \alpha_2 , , \cdots , \alpha _{2n}$ 을 인접한 순서대로 접은선 사이의 각이라 하자. v가 꼭지점 근처로 납작하게 접기가 가능하다는 것은 아래와 동치이다.

$ \alpha _1 - \alpha _2 + \alpha _3 - \alpha _4 + \cdots - \alpha _{2n} = 0 $

Let v be a vertex of degree 2n in a single vertex fold and let $\alpha _1 , \alpha_2 , , \cdots , \alpha _{2n}$ be the consecutive angles between the creases. Then then v is a flat vertex fold if and only if

$ \alpha _1 - \alpha _2 + \alpha _3 - \alpha _4 + \cdots - \alpha _{2n} = 0 $

증명 : 생략. 위와 같은 아이디어로 -> 방향은 증명 가능 합니다. 역은 좀 복잡.

  위 정리들을 사용하면 산접기, 계곡접기가 주어지지 않은 크리스 패턴에서 각 꼭지점에서 납작하게 접기가 가능할지 쉽게 판단할 수 있습니다.

경우 2 : Maekawa's Theorem

  이 경우는 좀 더 제한이 많습니다. 그 때문에 위 조건만 가지고는 크리스패턴이 납작하게 접어질지 판단하기 어렵습니다. 간단히 생각해보면 4개의 산접기 접은선이 어떤 꼭지점에 연결되어 있다고 해봅시다. 물론 위 꼭지점은 Kawasaki's Theorem을 만족하는 점이고요. 실제로 접어보면 아시겠지만. 이 꼭지점 근처를 납작하게 완전히 접어내는것은 불가능합니다. 마찬가지로 4개의 계곡접기 접은선이 어떤 꼭지점에 연결되어 있어도 완전히 납작하게 접어내는것은 불가능합니다. 따라서 뭔가 이것에 대한 조건이 필요함을 쉽게 알 수 있습니다. 그렇다면 그 조건이 뭘까요?
  종이접기를 하시는 분이라면 아마 이 사실에 대해 의문점을 가지신 적이 많으실 겁니다 : 왜 항상 납작하게 접히는 점 근처로 연결된 산접기 접은선과 계곡접기 접은선의 수의 차는 항상 2일까? 많은 크리스패턴을 접어보신 분이라면 귀납적으로 이 사실을 받아드리실 수 있으실 겁니다. 그렇다면 이 차이는 항상 2인걸까요? 그에대한 정리가 Maekawa's Theorem 입니다.

정리 2.1 : Maekawa's Theorem (마에카와의 정리)

v를 종이 안의 꼭지점이라 하자. 그리고 M을 v에 연결된 산접기 접은선의 수라 하고 V를 v에 연결된 계곡접기 접은선의 수라 하자. v근처로 납작하게 접기가 가능하다면

$ M-V = +- 2 $

이다.

Let v be a vertex in a single vertex fold. Let M be the number of mountain creases and V be the number of valley creases adjacent to a vertex in a single vertex fold. If v is locally flat-foldable then,

$ M-V = +-2 $

증명 : 생략

  접은선의 접기 방향까지 결정되어 있는 경우는 위 정리까지 활용하여야만 어떤 꼭지점 근처를 납작하게 접어낼 수 있는지 판단할 수 있습니다.
  그리고 이 정리를 이용해서도 정리 1.1을 증명할 수 있습니다. n을 꼭지점에 연결된 접은선의 수라 하면


이므로 n은 짝수가 되어야 합니다.
 
  여기까지 어떤 크리스패턴에서 종이 안의 꼭지점 근처를 납작하게 접어낼 수 있을지에 대해 알아보았습니다. 하지만 아직 이를 일반화 시키기엔 많이 부족합니다. 종이 끝부분에서의 납작하게 접기의 가능성에 대해선 아직 하나도 언급하지 않았고 점 근처에서 납작하게 접을수 있다는 걸 패턴 전체로 확장이 가능한가에 대해서도 아직 언급하지 않았습니다. 다음엔 좀 더 그에대해서 알아보겠습니다.