Constellation : StarLight's Imagination Factory

Cylindrical Coordinate(원통 좌표계)

Spherical Coordinate(구면 좌표계)

  만약 함수 f가 무한번 미분이 가능 하다고 하고 함수가 정의된 구간안쪽에서 점 a가 주어졌다고 하자. 여기서 x=a에서 f의 테일러 급수는 다음과 같이 정의 된다.

     `f(x) = sum_{k=0} ^{oo} {f^(k) (a)}/k! (x-a)^k `
           `= f(a) + f'(a)(x-a) + f''(a)/{2!}(x-a)^2 + cdots + {f^(n) (a)}/n! (x-a)^n + cdots `
      

`f(x)=3x+1`일 떄, `lim_{x->1}f(x)=4`  임을 증명하라.

Solution.
1. 부등식 풀기
   `x != 1` 일때, 먼저 다음의 부등식을 얻는다.
       `| f(x) - 4 | < epsilon`
       `epsilon` : 임의의 양수
    위 부등식을 풀자.
       `| 3x + 1 - 4 | < epsilon`
       `| 3x - 3 | < epsilon`
       `| 3x - 3 | < epsilon`
       `1- epsilon/3 < x < 1+epsilon/3
2. `delta` 찾기
  위의 부등식으로 부터
       `0 < |x-1| < delta`
를 만족하는 `delta`를 찾자.
       `-epsilon/3 < x-1 < epsilon/3
       `0 < |x-1| < epsilon/3`
3. 결론
   `delta`로 `epsilon/3`을 취하면
       `|(3x-1)-4| = |3x-3| = 3|x-1| < 3 delta = epsilon`
이다. 어떠한 작은 `epsilon`값에서도 그에 해당하는 `delta`값이 양수로 존재하므로 위 극한은 옳다.

※적분상수는 생략합니다.

I.
`int 1/sqrt{a^2 -x^2 } dx= sin^-1 x/a`,  `|x|<a`
`int 1/sqrt{a^2 +x^2 } dx= sinh^-1 x/a`
`int 1/sqrt{x^2 -a^2 } dx= cosh^-1 x/a`,  `|x|>a`

II.
`int 1/{a^2 + x^2} dx = 1/a tan^-1 x/a`
`{: int 1/{a^2 - x^2} dx :} = {(1/a tanh^-1 x/a, |x|<a),(1/a coth^-1 x/a, |x|>a):}`

III.
`int 1/{|x|sqrt{x^2 -a^2 }} dx= sin^-1 x/a`,  `|x|>a`
`int 1/{|x|sqrt{a^2 +x^2 }} dx= sinh^-1 x/a`
`int 1/{|x|sqrt{a^2 -x^2 }} dx= cosh^-1 x/a`,  `|x|<a`

※적분상수는 생략합니다.

[mathml]\int sinh ax = {1 \over a} cosh ax[/mathml]

[mathml]\int cosh ax = {1 \over a} sinh ax[/mathml]

[mathml]\int tanh ax = {1 \over a} \ln | cosh ax |[/mathml]

[mathml]\int coth ax = {1 \over a} \ln | sinh ax |[/mathml]

※적분상수는 생략합니다.

[mathml]\int sin ax dx = - {1 \over a}cos x[/mathml]

[mathml]\int cos ax dx = {1 \over a}sin x[/mathml]

[mathml]\int tan ax dx = {1 \over a} \ln |sec ax|[/mathml]

[mathml]\int cot ax dx = {1 \over a}\ln |sin ax|[/mathml]

[mathml]\int sec ax dx = {1 \over a}\ln | sec ax + tan ax | = {1 \over a}\ln \left| tan \left( {1 \over 2} ax + { 1 \over 4} \pi \right) \right|[/mathml]

[mathml]\int csc ax dx = {1 \over a}\ln | csc ax - cot ax | = {1 \over a} \ln \left| tan {1 \over 2} ax \right|[/mathml]