Constellation : StarLight's Imagination Factory

자 지금부터 진정한 외계어의 세계로 빠져 보시겠습니다~.

1. Cartesian Coordinate
    `vec r = x hat x + y hat y + z hat z`
    `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
    `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`

2. Cylindrical Coordinate
    `vec r = r hat r + theta hat theta + z hat z`
    `vec v = ?`
    `vec a = ?`
  1) 속도
     먼저 `x`, `y`를 `r`, `theta`로 표현해보자.

       `x = r cos theta`
       `y = r sin theta`

     양변을 `t`로 미분한다.

       `dot x = dot r cos theta - r dot theta sin theta`
       `dot y = dot r sin theta + r dot theta cos theta`

     그런데, `hat r`, `hat theta`는 다음과 같이 표현된다.

       `hat r = cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y`
       `hat theta = -sin theta cdot hat x + cos theta cdot hat y`

     따라서 위 식을 정리하면

       `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
          `=(dot r cos theta - r dot theta sin theta) hat x + (dot r sin theta + r dot theta cos theta) hat y + z hat z`
          `=dot r(cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y) + r dot theta(-sin theta hat x + cos theta hat y) + z hat z`
          `= dot r hat r + r dot theta hat theta + z hat z`
    2) 가속도
       `dot x`, `dot y`를 한번 더 t로 미분한다.

          `ddot x = ddot r cos theta - dot r dot theta sin theta - dot r dot theta sin theta - r ddot theta sin theta - r dot theta ^2 cos theta`
          `ddot y = ddot r sin theta + dot r dot theta cos theta + dot r dot theta cos theta + r ddot theta cos theta - r dot theta ^2 sin theta`

       위 식을 정리하면

          `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`
             `=(ddot r - r dot theta ^2 )(cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y) + (2 dot r dot theta + r ddot theta )(-sin theta hat x + cos theta hat y) + ddot z hat z`
             `=(ddot r - r dot theta ^2 ) hat r + (2 dot r dot theta + r ddot theta) hat theta + ddot z hat z`

3. Spherical Coordinate
    `vec rho = rho hat rho + theta hat theta + phi hat phi`
    `vec v = ?`
    `vec a = ?`

    1) 속도
       먼저 `x`, `y`, `z`를 `rho`, `theta`, `phi`로 표현해보자

          `x = rho sin phi cos theta  `
          `y = rho sin phi sin theta  `
          `z = rho cos phi`

       양변을 `t`로 미분한다.

          `dot x = dot rho sin phi cos theta   + rho dot phi cos phi cos theta - rho dot theta sin phi sin theta `
          `dot y = dot rho sin phi sin theta  + rho dot phi cos phi sin theta  + rho dot theta sin phi cos theta`
          `dot z = dot rho cos phi - rho dot phi sin phi`

       그런데 Spherical Coordinate의 unit vector는 다음과 같이 표현된다.

          `hat rho = sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z`
          `hat phi = cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z`
          `hat theta = -sin theta hat x + cos theta hat y`

       위 식들을 정리하면

          `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
             `= dot r (sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z)`
                 `+ rho dot theta sin phi(- sin theta hat x + cos theta hat y ) `
                 `+ rho dot phi (cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z)`
              `= dot rho hat rho + rho dot theta sin phi hat theta + rho dot phi hat phi`

       2) 가속도
          `dot x`, `dot y`, `dot z`를 한번 더 t에 대해 미분하자.

             `ddot x = ddot rho sin phi cos theta + dot rho dot phi cos phi cos theta - dot rho dot theta sin phi sin theta`
                `+ dot rho dot phi cos phi cos theta + rho ddot phi cos phi cos theta - rho dot phi ^2 sin phi cos theta - rho dot phi dot theta cos phi sin theta `
                `- dot rho dot theta sin phi sin theta - rho ddot theta sin phi sin theta - rho dot phi dot theta cos phi sin theta - rho dot theta ^2 sin phi cos theta`
             `ddot y = ddot rho sin phi sin theta + dot rho dot phi cos phi sin theta + dot rho dot theta sin phi cos theta `
                `+ dot rho dot phi cos phi sin theta + rho ddot phi cos phi sin theta - rho dot phi ^2 sin phi sin theta + rho dot phi dot theta cos phi cos theta `
                `+ dot rho dot theta sin phi cos theta + rho ddot theta sin phi cos theta + rho dot phi dot theta cos phi cos theta - rho dot theta ^2 sin phi sin theta`
             `ddot z = ddot rho cos phi - dot rho dot phi sin phi`
                 `- dot rho dot phi sin phi - rho ddot phi sin phi - rho dot phi ^2 cos phi`

          위 식을 정리하자 (-_-).

             `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2)(sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z)`
                   `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi)(cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z)`
                   `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi )(-sin theta hat x + cos theta hat y)`
                   `(-rho dot theta ^2 sin phi)(cos theta hat x + sin theta hat y)
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2) hat r`
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi)hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`
                  `(-rho dot theta ^2 sin phi)(cos theta hat x + sin theta hat y)

           그런데 `cos theta hat x + sin theta hat y`는 아래와 같이 전개될 수 있다.

              `[(cos theta), (sin theta), (0)] = [(sin^2 phi cos theta + cos^2 phi cos theta),(sin^2 phi sin theta + cos^2 phi sin theta),(sin phi cos phi - sin phi cos phi)]`
                   `= sin phi [(sin phi cos theta),(sin phi sin theta),(cos phi)] + cos phi [(cos phi cos theta),(cos phi sin theta),(-sin phi)]`
                   `= sin phi hat r + cos phi hat phi`

           이제 마지막으로 정리하면 아래의 식을 얻는다.
             `vec a = (ddot r - dot r dot phi ^2) hat r
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi) hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`
                  `(-rho dot theta ^2 sin phi)(sin phi hat r + cos phi hat phi`)
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2 - rho dot theta ^2 sin^2 phi) hat r`
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi - rho dot theta^2 sin phi cos phi)hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`

  어떠신가요? 그 길던 식이 이렇게 짧게 변한게 신기하죠? 재미있으셨다면(퍽) 리플 남겨주세요~. 재미 없으셨다고 해도 남겨주세요~.

  라그랑지 방정식(Lagrange Equation)은 라그랑지가 1782년 "Analytical Mechanics"를 통해 발표한 운동을 기술하는 방정식이다.

       `d/dt {del mathcal{L}}/{del dot{q_sigma}} -  {del mathcal{L}}/{del q_sigma} = 0`

       `mathcal{L} = T-U` : Lagrangian
       `T` : Kinetic Energy
       `U` : Potential Energy
       `q_sigma` : 일반화 좌표계의 `sigma`번째 좌표

  물체의 저항력이 속도와 관계가 있다고 하자.
  만약, 물체의 속도가 충분히 작다면 저항력은 다음과 같이 속도의 급수 전개로 나타낼 수 있다.

       `f_마 (v) = a_0 + a_1 v + a_2 v^2 + …`

  여기서, `v = 0` 일땐 마찰력이 없으므로

       `a_0 = 0`

이다. 위의 조건들을 고려하면, 일차원 좌표에서 마찰력의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
  
       `f_마 (v) = - alpha dot x`

위의 마찰력을 진동운동의 운동방정식에 첨가하면 아래의 식을 얻는다.

       `m ddot x = -kx - alpha dot x`

이제 이 식을 m으로 나누고 `k/m = omega_0 ^2`, `alpha/m = 2 lambda`라 놓으면 다음의 2계 미분방정식을 얻는다.

       `ddot x + 2 lambda dot x + omega_0 ^2 x = 0`

여기서 `omega_0`는 자유진동에서의 주파수이고 `lambda`는 감쇄계수라 한다.
  위 미분 방정식의 답은 크게 아래와 같이 세가지 경우로 나뉘어진다.

1. `lambda < omega_0` 인 경우 (Underdamped Oscillation)
   
• `x = a e^{-lambda t} cos (omega t + alpha)`
  
2. `lambda = omega_0` 인 경우 (Criticaly Damped Oscillation)
   
• `x = (c_1 + c_2 t) e^{-lambda t}`
3. `lambda > omega_0` 인 경우 (Overdamped Oscillation)
   
• `x = c_1 e^ {- [lambda+sqrt{(lambda^2-omega_0 ^2)}]t} + x = c_2 e^ {- [lambda-sqrt{(lambda^2-omega_0 ^2)}]t}`