Constellation : StarLight's Imagination Factory

  심심해서 한번 학과 과목 테크트리를 만들어 보았습니다. 만들고 보니 제법 연관성이 있는 과목들이 많더군요. 배열 순서는 일단 아래쪽으로 갈 수록 어려워 지는 과목들입니다. (맨 아랫줄 제외)


  완성판은 여기.



  ps. 요즘 PDF 파일 만드는데 재미 붙인것 같아요 ~_~.

  ps2. 배너나 만들어 볼까나.

  드디어 내일이 유기화학 기말고사 겸 수업 종료일입니다 ~_~. 아직 조합수학이 남긴 했지만 이제 좀 홀가분해지겠군요.

Alkyne

1. Acidity of Terminal Alkynes

2. Alkylation of Actylide Anions

• Nucleophilic Substitution : `S_N 2`

3. Synthesis of an Alkyne from an Alkene

• Bromization followed by E2 reation

4. Addition of Br₂and Cl₂

• Anti Addition

5. Addition of HX

• Regioselective : Markovnikov's Rule

6. Keto-Enol Tautomerism

• Predominate : Keto form

7. Hydroboration-Oxidation

• Stereoselective : Syn Addition
  

8. Acid Catalyzed Hydration

• Regioselective

9. Catalytic Reduction

10. Hydorboration-Protonolysis

11. Reduction Using Na or Li Metal in NH₃(l)

• Stereoselective : Anti Addition

Halogenation and Radical Reactions

1. Chlorination and Bromination of Alkanes

• Regioselective (Tertiary H > Secondary H > Primary H)
• Bromination has a higher regioselectivity than chlorination

2. Allylic Bromination

• Radical Reaction, Iniciator : NBS(N-bromosuccinimide)

3. Autoxidation

• Radical Reaction

4. HBr Addition to Alkenes Under Radical Conditions

• Radical Reaction
• Non-Makovnikov addition

(이거 말고도 또 있음..)

아, 내일부터 3일간 요세미티 국립공원에 갔다옵니다 ~_~

  고등학교떄 모아놓은 자료 중에 재미있는 자료가 있어서 올립니다. 대부분 나트륨을 물에 넣으면 폭발한다고 알고 계시지만 실제로 본 적은 없으신 분이 많으시죠? 한 번 보시고 집에선 절대 따라하지 마세요 ㄱ-. 나트륨 넣은 양은 대략 성인 남자의 검지손가락 정도 크기의 나트륨 덩어리를 넣었던 것으로 기억합니다. 반응에 대해 간단히 설명 드리면 다음과 같습니다.

그럼 천천히 동영상을 감상해 보시죠. 재미있네요! 절대 따라하진 마시길..

로렌츠 좌표 변환(Lorentz Transformation)

  로렌츠 좌표변환은 Galilean Transform에서 맥스웰 방정식이 역학적 법칙이 아니게 되는 것을 해결하기 위해 처음 등장한 좌표 변환이다. 이 변환은 특수 상대성 이론에서 좌표 변환을 할때 자주 쓰인다.
       `x' = gamma ( x - v t)`
       `y' = y`
       `z' = z`
       `ct' = gamma (ct - v/c x)`
      
   여기서 `gamma = 1 / sqrt{1-(v^2/c^2)}

로렌츠 역좌표 변환(Inverse Lorentz Transformation)

  로렌츠 좌표변환의 역변환은 다음과 같다.

       `x = gamma ( x' + v t)`
       `y = y'`
       `z = z'`
       `ct = gamma (ct' + v/c x)`

로렌츠 속도 변환(Lorentz Velocity Transformation)

  그렇다면 위 좌표계에서 속도는 어떻게 변환될까? 먼저 변환된 좌표계에서의 속도를 미분으로 표현해보자.

       `u_x ' = {dx'}/{dt'} = {dx'}/{dt} {dt}/{dt'}`
       `u_y ' = {dy'}/{dt'} = {dy'}/{dt} {dt}/{dt'}`
       `u_z ' = {dz'}/{dt'} = {dz'}/{dt} {dt}/{dt'}`

  위와같이 chain rule을 이용해 우리가 미분 할 수 있는 양으로 전개가 가능하다. 이제 각 미분을 계산 해 보자.

       `{dx'}/dt = gamma (dx/dt - v) = gamma (u_x -v)`
       `{dy'}/dt = dy/dt = u_y`
       `{dz'}/dt = dz/dt = u_z`
       `{dt}/dt' = ({dt'}/dt)^-1 = (gamma ( 1 - v/c^2 dx/dt))^-1 = 1/ {gamma (1- {u_x v} /c^2)}`

  이제 위 식들을 정리하면 로렌츠 속도 변환을 얻는다.

      `u_x ' = {dx'}/{dt} {dt}/{dt'} = {u_x - v} / {1- {u_x v} /c^2} `
      `u_y ' = {dy'}/{dt} {dt}/{dt'} = u_y / {gamma (1- {u_x v} /c^2)}`
      `u_z ' = {dz'}/{dt} {dt}/{dt'} = u_z / {gamma (1- {u_x v} /c^2)}`

로렌츠 변환에서의 가속도(Lorentz Transformation for Acceleration)

   이번엔 변환된 좌표계에서의 가속도를 구해보자. 먼저 가속도를 미분으로 나타낸다.

       `a_x ' = {du_x '}/{dt'} = {du_x '}/{dt} {dt}/{dt'}`

  위와 마찬가지로 각 미분들을 구한다.

       `{du_x '}/{dt} = {{du_x}/dt (1- {u_x v} /c^2) - (u_x - v)(- v/c^2 {du_x}/dt ) } / {(1- {u_x v} /c^2)^2} = a_x {1 - {v^2}/c^2}/ {(1- {u_x v} /c^2)^2} `

  이제 위 식들을 정리하면 아래의 변환을 얻는다.

        `a_x' = a_x {1 - {v^2}/c^2}/ {(1- {u_x v} /c^2)^2} (1-{v^2}/c^2)^{1/2}/{(1- {u_x v} /c^2)}`
            `= a_x (1- {v^2}/ c^2 )^{3/2} ( 1- {u_x v} /c^2 )^-3`
            `= a_x / {gamma^3 (1- {u_x v} / c^2 ) ^3}

자 지금부터 진정한 외계어의 세계로 빠져 보시겠습니다~.

1. Cartesian Coordinate
    `vec r = x hat x + y hat y + z hat z`
    `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
    `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`

2. Cylindrical Coordinate
    `vec r = r hat r + theta hat theta + z hat z`
    `vec v = ?`
    `vec a = ?`
  1) 속도
     먼저 `x`, `y`를 `r`, `theta`로 표현해보자.

       `x = r cos theta`
       `y = r sin theta`

     양변을 `t`로 미분한다.

       `dot x = dot r cos theta - r dot theta sin theta`
       `dot y = dot r sin theta + r dot theta cos theta`

     그런데, `hat r`, `hat theta`는 다음과 같이 표현된다.

       `hat r = cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y`
       `hat theta = -sin theta cdot hat x + cos theta cdot hat y`

     따라서 위 식을 정리하면

       `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
          `=(dot r cos theta - r dot theta sin theta) hat x + (dot r sin theta + r dot theta cos theta) hat y + z hat z`
          `=dot r(cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y) + r dot theta(-sin theta hat x + cos theta hat y) + z hat z`
          `= dot r hat r + r dot theta hat theta + z hat z`
    2) 가속도
       `dot x`, `dot y`를 한번 더 t로 미분한다.

          `ddot x = ddot r cos theta - dot r dot theta sin theta - dot r dot theta sin theta - r ddot theta sin theta - r dot theta ^2 cos theta`
          `ddot y = ddot r sin theta + dot r dot theta cos theta + dot r dot theta cos theta + r ddot theta cos theta - r dot theta ^2 sin theta`

       위 식을 정리하면

          `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`
             `=(ddot r - r dot theta ^2 )(cos theta cdot hat x + sin theta cdot hat y) + (2 dot r dot theta + r ddot theta )(-sin theta hat x + cos theta hat y) + ddot z hat z`
             `=(ddot r - r dot theta ^2 ) hat r + (2 dot r dot theta + r ddot theta) hat theta + ddot z hat z`

3. Spherical Coordinate
    `vec rho = rho hat rho + theta hat theta + phi hat phi`
    `vec v = ?`
    `vec a = ?`

    1) 속도
       먼저 `x`, `y`, `z`를 `rho`, `theta`, `phi`로 표현해보자

          `x = rho sin phi cos theta  `
          `y = rho sin phi sin theta  `
          `z = rho cos phi`

       양변을 `t`로 미분한다.

          `dot x = dot rho sin phi cos theta   + rho dot phi cos phi cos theta - rho dot theta sin phi sin theta `
          `dot y = dot rho sin phi sin theta  + rho dot phi cos phi sin theta  + rho dot theta sin phi cos theta`
          `dot z = dot rho cos phi - rho dot phi sin phi`

       그런데 Spherical Coordinate의 unit vector는 다음과 같이 표현된다.

          `hat rho = sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z`
          `hat phi = cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z`
          `hat theta = -sin theta hat x + cos theta hat y`

       위 식들을 정리하면

          `vec v = dot x hat x + dot y hat y + dot z hat z`
             `= dot r (sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z)`
                 `+ rho dot theta sin phi(- sin theta hat x + cos theta hat y ) `
                 `+ rho dot phi (cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z)`
              `= dot rho hat rho + rho dot theta sin phi hat theta + rho dot phi hat phi`

       2) 가속도
          `dot x`, `dot y`, `dot z`를 한번 더 t에 대해 미분하자.

             `ddot x = ddot rho sin phi cos theta + dot rho dot phi cos phi cos theta - dot rho dot theta sin phi sin theta`
                `+ dot rho dot phi cos phi cos theta + rho ddot phi cos phi cos theta - rho dot phi ^2 sin phi cos theta - rho dot phi dot theta cos phi sin theta `
                `- dot rho dot theta sin phi sin theta - rho ddot theta sin phi sin theta - rho dot phi dot theta cos phi sin theta - rho dot theta ^2 sin phi cos theta`
             `ddot y = ddot rho sin phi sin theta + dot rho dot phi cos phi sin theta + dot rho dot theta sin phi cos theta `
                `+ dot rho dot phi cos phi sin theta + rho ddot phi cos phi sin theta - rho dot phi ^2 sin phi sin theta + rho dot phi dot theta cos phi cos theta `
                `+ dot rho dot theta sin phi cos theta + rho ddot theta sin phi cos theta + rho dot phi dot theta cos phi cos theta - rho dot theta ^2 sin phi sin theta`
             `ddot z = ddot rho cos phi - dot rho dot phi sin phi`
                 `- dot rho dot phi sin phi - rho ddot phi sin phi - rho dot phi ^2 cos phi`

          위 식을 정리하자 (-_-).

             `vec a = ddot x hat x + ddot y hat y + ddot z hat z`
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2)(sin phi cos theta hat x + sin phi sin theta hat y + cos phi hat z)`
                   `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi)(cos phi cos theta hat x + cos phi sin theta hat y - sin phi hat z)`
                   `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi )(-sin theta hat x + cos theta hat y)`
                   `(-rho dot theta ^2 sin phi)(cos theta hat x + sin theta hat y)
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2) hat r`
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi)hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`
                  `(-rho dot theta ^2 sin phi)(cos theta hat x + sin theta hat y)

           그런데 `cos theta hat x + sin theta hat y`는 아래와 같이 전개될 수 있다.

              `[(cos theta), (sin theta), (0)] = [(sin^2 phi cos theta + cos^2 phi cos theta),(sin^2 phi sin theta + cos^2 phi sin theta),(sin phi cos phi - sin phi cos phi)]`
                   `= sin phi [(sin phi cos theta),(sin phi sin theta),(cos phi)] + cos phi [(cos phi cos theta),(cos phi sin theta),(-sin phi)]`
                   `= sin phi hat r + cos phi hat phi`

           이제 마지막으로 정리하면 아래의 식을 얻는다.
             `vec a = (ddot r - dot r dot phi ^2) hat r
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi) hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`
                  `(-rho dot theta ^2 sin phi)(sin phi hat r + cos phi hat phi`)
                `=(ddot rho - dot r dot phi ^2 - rho dot theta ^2 sin^2 phi) hat r`
                  `+(2 dot rho dot phi + rho ddot phi - rho dot theta^2 sin phi cos phi)hat phi`
                  `+(2 dot rho dot theta sin phi + 2 rho dot phi dot theta cos phi + rho ddot theta sin phi ) hat theta`

  어떠신가요? 그 길던 식이 이렇게 짧게 변한게 신기하죠? 재미있으셨다면(퍽) 리플 남겨주세요~. 재미 없으셨다고 해도 남겨주세요~.

  라그랑지 방정식(Lagrange Equation)은 라그랑지가 1782년 "Analytical Mechanics"를 통해 발표한 운동을 기술하는 방정식이다.

       `d/dt {del mathcal{L}}/{del dot{q_sigma}} -  {del mathcal{L}}/{del q_sigma} = 0`

       `mathcal{L} = T-U` : Lagrangian
       `T` : Kinetic Energy
       `U` : Potential Energy
       `q_sigma` : 일반화 좌표계의 `sigma`번째 좌표

  물체의 저항력이 속도와 관계가 있다고 하자.
  만약, 물체의 속도가 충분히 작다면 저항력은 다음과 같이 속도의 급수 전개로 나타낼 수 있다.

       `f_마 (v) = a_0 + a_1 v + a_2 v^2 + …`

  여기서, `v = 0` 일땐 마찰력이 없으므로

       `a_0 = 0`

이다. 위의 조건들을 고려하면, 일차원 좌표에서 마찰력의 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
  
       `f_마 (v) = - alpha dot x`

위의 마찰력을 진동운동의 운동방정식에 첨가하면 아래의 식을 얻는다.

       `m ddot x = -kx - alpha dot x`

이제 이 식을 m으로 나누고 `k/m = omega_0 ^2`, `alpha/m = 2 lambda`라 놓으면 다음의 2계 미분방정식을 얻는다.

       `ddot x + 2 lambda dot x + omega_0 ^2 x = 0`

여기서 `omega_0`는 자유진동에서의 주파수이고 `lambda`는 감쇄계수라 한다.
  위 미분 방정식의 답은 크게 아래와 같이 세가지 경우로 나뉘어진다.

1. `lambda < omega_0` 인 경우 (Underdamped Oscillation)
   
• `x = a e^{-lambda t} cos (omega t + alpha)`
  
2. `lambda = omega_0` 인 경우 (Criticaly Damped Oscillation)
   
• `x = (c_1 + c_2 t) e^{-lambda t}`
3. `lambda > omega_0` 인 경우 (Overdamped Oscillation)
   
• `x = c_1 e^ {- [lambda+sqrt{(lambda^2-omega_0 ^2)}]t} + x = c_2 e^ {- [lambda-sqrt{(lambda^2-omega_0 ^2)}]t}`